【曲率圆的圆心坐标公式】在微分几何中，曲率圆（也称为密切圆）是描述曲线在某一点附近最接近该点的圆。曲率圆的圆心称为曲率中心，其坐标可以通过曲线在该点的导数和二阶导数来计算。以下是对曲率圆圆心坐标公式的总结，并以表格形式展示关键信息。

一、基本概念

- 曲率：表示曲线在某一点处弯曲的程度，记为 $ \kappa $。

- 曲率半径：曲率的倒数，记为 $ R = \frac{1}{\kbar} $。

- 曲率圆：以曲率半径为半径，在曲率中心处与原曲线在该点有相同切线和曲率的圆。

二、曲率圆的圆心坐标公式

对于参数方程表示的平面曲线：

$$

x = x(t), \quad y = y(t)

$$

在参数 $ t $ 对应的点 $ (x(t), y(t)) $ 处，曲率圆的圆心坐标为：

$$

\left( x - \frac{y'(t) \cdot (x'(t)^2 + y'(t)^2)}{\kappa}, \quad y + \frac{x'(t) \cdot (x'(t)^2 + y'(t)^2)}{\kappa} \right)

$$

其中，曲率 $ \kappa $ 的表达式为：

$$

\kappa = \frac{x'(t) y''(t) - y'(t) x''(t)}{(x'(t)^2 + y'(t)^2)^{3/2}}

$$

三、公式说明

四、简化情况（直角坐标系）

若曲线为显函数 $ y = f(x) $，则曲率圆的圆心坐标公式可简化为：

$$

\left( x - \frac{f'(x)(1 + f'(x)^2)}{f''(x)}, \quad f(x) + \frac{1 + f'(x)^2}{f''(x)} \right)

$$

五、总结

曲率圆的圆心坐标公式是根据曲线在某点的导数关系推导出来的，它反映了曲线在该点的局部弯曲特性。掌握这一公式有助于理解曲线的几何性质，尤其在计算机图形学、物理运动轨迹分析等领域具有广泛应用。

通过以上总结和表格，可以清晰地了解曲率圆圆心坐标的计算方法及其应用背景。