【求导公式大全高等数学】在高等数学的学习过程中，导数是一个非常重要的概念，它不仅用于描述函数的变化率，还在极值、曲线的切线、物理中的速度与加速度等问题中有着广泛的应用。掌握常见的求导公式是学习微积分的基础。以下是对常见求导公式的总结，结合表格形式，便于理解和记忆。
一、基本求导公式
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、四则运算求导法则
| 运算类型 | 公式 |
| 和差法则 | $ [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) $ |
| 积法则 | $ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 商法则 | $ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $（$ g(x) \neq 0 $） |
三、复合函数求导法则（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：
$$
y' = f'(u) \cdot g'(x)
$$
四、高阶导数
对于函数 $ y = f(x) $，其二阶导数定义为：
$$
f''(x) = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)
$$
同理，可求出更高阶的导数。
五、隐函数求导
若函数由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所确定，可对两边关于 $ x $ 求导，解出 $ \frac{dy}{dx} $。
例如：
设 $ x^2 + y^2 = 1 $，则对两边求导得：
$$
2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
$$
六、参数方程求导
若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad ( \frac{dx}{dt} \neq 0 )
$$
七、反函数求导
若 $ y = f(x) $，且 $ x = f^{-1}(y) $，则：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad (\frac{dy}{dx} \neq 0)
$$
总结
求导是高等数学的核心内容之一，掌握各类函数的求导方法和规则，有助于解决实际问题和深入理解数学模型。通过上述表格和文字说明，可以系统地复习和巩固常见的求导公式和应用方法，提高解题效率和数学思维能力。
建议在学习过程中多做练习题，灵活运用这些公式，逐步提升自己的数学水平。
