【辅助角公式的推导过程】在三角函数的学习中，辅助角公式是一个重要的工具，尤其在化简和求解含有正弦与余弦的线性组合时非常有用。该公式可以将形如 $ a\sin x + b\cos x $ 的表达式转化为一个单一的正弦或余弦函数形式，便于分析其周期、振幅和相位等特性。
一、辅助角公式的定义
辅助角公式的基本形式为：
$$
a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \varphi)
$$
其中：
- $ R = \sqrt{a^2 + b^2} $
- $ \tan \varphi = \frac{b}{a} $
或者也可以写成：
$$
a\sin x + b\cos x = R\cos(x - \theta)
$$
其中：
- $ R = \sqrt{a^2 + b^2} $
- $ \tan \theta = \frac{a}{b} $
二、推导过程总结
以下是辅助角公式的详细推导步骤，以 $ a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \varphi) $ 为例进行说明。
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 假设存在常数 $ R $ 和 $ \varphi $，使得：$ a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \varphi) $ |
| 2 | 利用正弦的加法公式展开右边：$ R\sin(x + \varphi) = R(\sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi) $ |
| 3 | 将等式两边比较系数：$ a\sin x + b\cos x = R\cos \varphi \cdot \sin x + R\sin \varphi \cdot \cos x $ |
| 4 | 对比两边得到：$ a = R\cos \varphi $，$ b = R\sin \varphi $ |
| 5 | 由上述两式平方后相加得：$ a^2 + b^2 = R^2(\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) = R^2 $，所以 $ R = \sqrt{a^2 + b^2} $ |
| 6 | 由 $ a = R\cos \varphi $ 和 $ b = R\sin \varphi $ 得到：$ \tan \varphi = \frac{b}{a} $，即 $ \varphi = \arctan\left( \frac{b}{a} \right) $ |
三、辅助角公式的应用示例
例如，对于表达式 $ \sin x + \cos x $，我们可以使用辅助角公式将其转化为：
$$
\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)
$$
这里：
- $ a = 1 $，$ b = 1 $
- $ R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $
- $ \varphi = \arctan\left( \frac{1}{1} \right) = \frac{\pi}{4} $
四、小结
辅助角公式是将两个不同频率的正弦与余弦项合并为一个单一的三角函数的重要方法。通过推导，我们不仅理解了其数学本质，还掌握了如何根据系数计算出相应的振幅和相位角。
| 关键点 | 内容 |
| 公式形式 | $ a\sin x + b\cos x = R\sin(x + \varphi) $ 或 $ R\cos(x - \theta) $ |
| 振幅 $ R $ | $ R = \sqrt{a^2 + b^2} $ |
| 相位角 $ \varphi $ 或 $ \theta $ | 由 $ \tan \varphi = \frac{b}{a} $ 或 $ \tan \theta = \frac{a}{b} $ 确定 |
| 应用场景 | 化简三角表达式、求极值、分析周期性等 |
通过以上推导与总结，我们可以更清晰地理解辅助角公式的来源及其实际应用价值。
